GW近似

多電子系の準粒子エネルギーを摂動論的に求める手法の1つ。多電子系の自己エネルギーを1粒子グリーン関数Gと遮蔽クーロン相互作用Wで近似する。これによって、光電子分光スペクトルなどが、局所密度近似や一般化勾配近似を用いたKohn-Sham法に比べてかなり精度良く求まり、実験との定量的な比較が可能になってきている。ほとんどの計算コードでは、GW近似はKohn-Sham波動関数に対する摂動の形で実装されている。

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KKR法

第一原理計算手法の一つ。手法名は開発者のKorringa, Kohn, Rostokerの頭文字からとられている。有効ポテンシャルによる電子の多重散乱の効果をグリーン関数によって記述し、これを数値計算によって求める方法である。密度汎関数法と組み合わせることにより、高速な電子状態計算を行うことができるほか、CPAの方法を組み合わせて不純物問題や不規則合金の電子状態の計算にも応用できるという特色がある。原理的には密度汎関数法に関連する様々な手法が適用できるが、公開されているパッケージでは擬ポテンシャル近似およびマフィンティンポテンシャルによるモデル化を採用している。

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Kohn-Sham法

密度汎関数理論に基づく、現在もっとも日常的に利用されている手法。密度汎関数理論において、電子系のエネルギー汎関数を計算する際に、特に運動エネルギーの近似が難しかったために導入された。全エネルギーの最大部分を占める運動エネルギーを、実際の系と同じ電子密度を与える相互作用しない仮想参照系の運動エネルギーで近似した。そして、残りの相互作用エネルギーを交換相関エネルギー汎関数に押し込めることで、多体問題を有効ポテンシャル中の一電子シュレディンガー方程式(Kohn-Sham方程式)を解くことに帰着させた。

X線分光解析

X線を物質に照射すると、物質に含まれる原子の内殻励起に起因する元素に特有なエネルギーでX線吸収が起こる。このX線吸収端における吸収スペクトルの微細構造をXAFS(X-ray Absorption Fine Structure, X線吸収微細構造)と呼び、これを解析することで原子の局所構造に関する情報を得ることができる。X線分光解析にあたって、着目する原子および隣接する原子の電子状態を計算し、実験と比較することが必要となる。X線分光解析用のアプリ(FEFF, Demeter, Missingなど)には電子状態計算を行う機能がついており、実験との比較を簡単に行うことができる。また、X線吸収スペクトルを計算する機能が付属している第一原理計算アプリ(WIEN2k, Exciting, Quantum ESPRESSO, ABINITT, AkaiKKR, SPRKKR, GPAWなど)を用いることで、より精度の高い分光解析を行うことも可能である。

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イジング模型 (Ising model)

強磁性体における常磁性・強磁性相転移を記述するために導入された、統計力学で最も基本的な模型の一つ。 ±1 の2値を取る「スピン」を格子状に並べて、隣り合う2つのスピン間にはその大きさがスピン値の組み合わせに依存するような相互作用を考える。スピンが互いに同じ値を取るとエネルギーが下がるような相互作用(強磁性相互作用)がある時には、絶対零度ではすべてのスピンが同じ値をとる強磁性状態(秩序相)になる。一方で高温極限ではエントロピーが大きい状態、すなわちすべてのスピンが互いに独立に、ばらばらな値を取るような無秩序相(常磁性状態)となる。ある特定の温度で秩序相と無秩序相とが切り替わる現象が、有限温度相転移である。また、相互作用の符号や大きさをスピン対ごとにランダムにすることで、基底状態を求めることが困難になったり、熱緩和時間が非常に長くなるスピングラス状態が現れたりと、数値計算であっても解くことが難しくなる。イジング模型は古典統計力学の模型であるが、スピンを反転させる外場である横磁場を導入することで量子模型(横磁場イジング模型)にすることができ、横磁場の強さによって絶対零度でも強磁性・常磁性相転移を起こすことができる(量子相転移)。このように、単純ながら様々な現象が起きるため、古典統計力学、量子統計力学だけではなく、情報統計理論や量子情報理論でも重要な模型である。

コヒーレント・ポテンシャル近似(CPA)

不規則系を取り扱う代表的な近似理論。乱れのある系や合金系などの不規則系の電子状態計算では、完全結晶を前提とするバンド理論による記述が難しくなるが、CPA近似では原子組成の不規則性の影響を1サイト近似の範囲内で自己完結的に取り扱うことで、現実の合金系の性質を定量的に記述することに成功している。第一原理計算手法の一つであるKKR法に組み込まれて不規則系の電子状態計算に利用されるなど、固体物理学のさまざまな問題に活用されている。

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シミュレーテッドアニーリング

最適化問題を解くための一般的な数値手法。焼きなまし法とも呼ばれる。

コスト関数(エネルギー)が最小となる状態(解、基底状態)を求めるために、コスト関数が一番下がる方向へと状態を更新していくと、局所解にトラップされてしまう。それを避けるためには、コスト関数の値が増える方向への変化も許容するような状態更新を行っていく必要がある。コストが増大するような状態更新を許容する度合をコントロールするパラメータを「温度」と呼び、コスト増に寛容な「高温」から、コスト増を許さない「低温」へと徐々に冷やしていくことで、大域解に到達する手法がシミュレーテッドアニーリングである。

物理的な視点では、熱ゆらぎによって自由エネルギー障壁を乗り越えることで局所安定解を脱出する過程を利用して、熱ゆらぎを徐々に弱くすることで最適化問題を解く手法といえる。量子力学では、絶対零度で熱ゆらぎがなくても、量子ゆらぎによってエネルギー障壁を乗り越えることができる(トンネル効果)が、量子ゆらぎの強さを徐々に弱くしていくことで最適化問題を解くのが量子アニーリングである。

数値的に量子アニーリングをシミュレーションすることもできるが、実際に量子ゆらぎをコントロールすることで、自然に最適化問題を解かせることができるのがアニーリング方式の量子コンピュータである。

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テンソルネットワーク法

テンソルネットワーク法は,離散空間量子多体系の基底状態での物理量期待値を求めるための方法で,テンソルネットワーク状態(TNS)を変分関数とする変分法である.テンソルネットワーク状態とは,適当な直交基底系で状態を展開したときの展開係数が(通常系の自由度数に比例する個数の)テンソルの積であらわされるような状態のことである.用いられるテンソルが3階であるときが密度行列繰り込み群に対応する.密度行列繰り込み群の場合と同様,テンソルの次元を大きくすると任意の量子状態が表現可能になる.ネットワークの構造,テンソルの最適化方法,積の縮約方法のそれぞれについて複数の選択肢があり,テンソルネットワーク法はそれらの総称である.

ハイゼンベルク模型 (Heisenberg model)

固体中の電子の低エネルギー自由度としてスピン自由度のみを抽出した模型。固体の磁性を議論するうえで最も基本的な模型の一つである。スピン相互作用の形、格子構造に様々なバリエーションがあるが、特に反強磁性相互作用(スピンを反平行に揃える相互作用)をもつ反強磁性ハイゼンベルク模型はハーフフィリングのハバード模型の強結合極限として得られ、銅酸化物高温超伝導体の母物質であるモット絶縁体を記述する基本的な模型として盛んに研究が行われている。また、カゴメ格子など反強磁性相互作用と単純には整合しない幾何学的フラストレーションをもつ格子の場合に発現すると期待される量子スピン液体の研究も盛んに行われている。正方格子などの負符号問題が出ない場合に厳密な量子モンテカルロ計算を行なうことができ、それを行えるソフトウェアとして、ALPS, DSQSSなどがある。また、厳密対角化の計算が行なるソフトウェアとしてはALPS, TITPACK,SpinPack, KobePack、HΦがある。また、mVMCを用いることで、変分モンテカルロ法を用いた様々なハイゼンベルク模型の基底状態計算を行なうことができる。

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ハバード模型 (Hubbard model)

遷移金属酸化物の電子状態を記述する理論模型としてHubbard・Kanamori(金森)・Gutzwillerらによって独立に提案された模型。最近接のトランスファーとオンサイトクーロン相互作用のみを含む単純な模型であるものの、その理論解析は難しく一次元などの限られた場合にしか厳密なことはわかっていない。強磁性・反強磁性・モット絶縁体・高温超伝導など現在の固体物理で注目されている多くの現象を記述する最も基本的な模型として盛んに研究が行われている。少数サイトのハバード模型の厳密対角化を行えるソフトウェアとして、ALPS、SpinPack, HΦがあり、HΦでは動的物理量計算及び熱的純粋量子状態を用いた有限温度計算も可能である。また、動的平均場近似を用いた計算はALPS,pyDMFTを用いて行えることができ、変分モンテカルロ法を用いた計算をmVMCを用いて行なうことができる。

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